Luas Segitiga Dengan Trigonometri, Aturan Sinus Dan Aturan Cosinus

Nama: Sahita Tirta Nirwana 

Kelas: X IPS 3

Absen: 36

Senin 15 Maret 2021

Aturan sinus 
Perbandingan antara setiap sisi dan sinus sudut di depan sisi tersebut memiliki nilai yang sama. Aturan sinus ini berlaku pada segitiga, baik segitiga siku-siku maupun segitiga sembarang.
Misalnya pada segitiga ABC yang memiliki panjang sisi a, b, dan c, serta sudut A, B, C, maka aturan sinus yang berlaku adalah sebagai berikut:

Substitusikan nilai h pada persamaan (1) ke ke persamaan (2).

Langkah di atas juga berlaku saat kamu akan mencari nilai c. Dengan demikian, aturan sinusnya menjadi seperti berikut:

Aturan sinus bisa digunakan pada dua pasang sudut sisi yang saling berhadapan, di mana salah satunya tidak diketahui.
Contoh Soal
Pada awalnya, Menara Pisa dibangun dengan ketinggian 56 m. Ternyata, tanah di lokasi pembangunan menara rentan akan kerapuhan, sehingga terjadi kemiringan. Pada jarak 44 m dari dasar menara diperoleh sudut elevasi 55o, tentukan derajat kemiringan menara dari posisi awalnya!
Jawaban:
Jika digambarkan akan menjadi seperti berikut.

Persoalan di atas bisa disederhanakan menjadi segitiga berikut:

Gunakan aturan sinus untuk menyelesaikan masalah di atas

Dengan demikian, besar sudut A = 180o – (B + C)  atau sudut A = 85o

Jadi, derajat kemiringan Menara Pisa adalah x = 90o – 85o = 5o

Aturan kosinus
Hubungan antara panjang sisi segitiga dan nilai kosinus dari salah satu sudut yang ada di dalam segitiga tersebut. Untuk mencari tahu persamaan yang berlaku di aturan kosinus

Pada segitiga ADC, berlaku:
h2 = b2 – AD2…(1)
Pada segitiga siku-siku BDC, berlaku:
h2 = a2 – BD2…(2)
Substitusikan nilai h2 pada persamaan (1) ke persamaan (2), diperoleh:
b2 – AD2 = a2 – BD2
Oleh karena BD = c – AD, maka:
b2 – AD2 = a2 – (c – AD)2
b2 – AD2 = a2 – c2 + 2.c.AD – AD2
a2 = b2 + c2 – 2.c.AD
Pada segitiga ADC berlaku AD = b. cos A, sehingga dapat dinyatakan sebagai berikut.
a2 = b2 + c2 – 2.b.c.cos A
Melalui cara yang sama, akan mendapatkan nilai kosinus untuk panjang sisi lainnya (b dan c).
Dari perhitungan di atas, aturan kosinus memenuhi persamaan berikut:

Contoh Soal 
Jawaban:
Untuk memudahkan dalam menyelesaikan soal tersebut

Kapal laut A dan B berlayar dari titik M pada waktu yang bersamaan. Kapal A berlayar dengan jurusan tiga angka 102o dan kapal B berlayar dengan jurusan tiga angka 232o. Jika kecepatan kapal A 30 km/jam dan kecepatan kapal B 45 km/jam, tentukan jarak kedua kapal tersebut setelah berlayar selama 3 jam

Oleh karena kecepatan A = 30 km/jam, maka setelah 3 jam jarak yang ditempuh adalah 90 km. Untuk B, jarak yang ditempuh selama 3 jam adalah 135 km. Di sisi lain, besaran sudut AMB = 232o -102o = 130o. Berdasarkan aturan kosinus, diperoleh:
AB2 = AM2 + BM2 – 2.AM.BM.cos M
AB2 = 902 + 1352 – 2.90.135.cos 130o
AB = 204,8 km
Jadi, jarak kedua kapal tersebut setelah berlayar selama 3 jam adalah 204,8 km

Luas Segitiga Trigonometri 

Pada segitiga ADC berlaku :

Substitusikan nilai h pada persamaan (2) ke persamaan (1), diperoleh:

Contoh Soal
Sebuah ruang tamu berukuran 15 kaki x 25 kaki dan memiliki bentuk seperti balok terbuka dengan atap yang membentuk segitiga pada sisi kanan dan kirinya seperti gambar berikut:

Jika dua bagian dari atas membentuk sudut 50o dan 33o dengan bidang datar sebagaimana dalam gambar, tentukan luas dari segitiga yang terbentuk!
Jawaban:
Jika digambarkan kembali, segitiga yang terbentuk pada atap menjadi seperti berikut
Besar sudut C dapat dirumuskan sebagai berikut.
C = 180o – (33o + 50o)
C = 97o
Berdasarkan aturan sinus, diperoleh:

Dengan demikian, luas segitiga yang terbentuk adalah:

Jadi, luas segitiga yang terbentuk mendekati 49 kaki²