Luas Segi-n Beraturan, Jari Jari Lingkaran Luar/Dalam Segitiga, Garis Singgung Persekutuan Luar/Dalam Lingkaran

Nama: Sahita Tirta Nirwana 

Kelas : X IPS 3

Absen: 36

Senin 22 Maret 2021

Luas Segi-n Beraturan

Segi n beraturan berasal dari bagian-bagian kecil pada lingkaran. Untuk itu rumus segi n beraturan melibatkan jari jari dan sudut pusat di dalamnya. Sudut pusat ialah sudut segitiga (dinyatakan dalam tanda sudut berwarna merah) yang memiliki besar 360°/n. Selain itu dalam bangun datar segi n beraturan terdapat sisi yang dinyatakan dalam bentuk x. Bangun datar segi n beraturan dapat dihitung luas dan kelilingnya menggunakan rumus pada luas segitiga dengan sudut di dalamnya. Untuk itu terdapat peran aturan sinus pada perhitungan luasnya dan aturan kosinus pada perhitungan kelilingnya. Karena dalam rumus segi n beraturan terdapat peran aturan sinus dan kosinus di dalamnya. Pengertian segi n beraturan ialah segi banyak yang memiliki sisi semuanya dengan panjang sama dan besar semua sudutnya sama. Selain itu adapula yang mengatakan bahwa segi n beraturan ialah bangun datar yang mempunyai jumlah sisi lebih dari 4 segi dan mempunyai segi beraturan di dalamnya. Adapun contoh segi n beraturan tersebut yaitu segi sepuluh beraturan, segi enam beraturan, segidelapan beraturan dan lain lain. 

Contoh Segi-n beraturan

Untuk menghitung luas pada segi n beraturan dapat dilakukan dengan menggunakan rumus luas segitiga dengan aturan sinus di dalamnya. Adapun rumus segitiganya yaitu meliputi:

Luas Segitiga = ½.r.r.sin θ = ½ r² sin 360°/n

Rumus luas segitiga menggunakan aturan sinus di atas dapat digunakan untuk menghitung luas pada segi n beraturan. Adapun rumus luas segi n beraturan yaitu sebagai berikut:

Luas segi n = n × Luas Segitiga

Luas segi n = n/2 r² sin 360°/n

Contoh Soal 

Tentukan luas segi 12 beraturan yang jari jari lingkaran luarnya memiliki panjang 9 cm?

Jawaban:

Diketahui : r = 9 cm; n = 12

Ditanyakan : Luas = ?

Jawab :

Untuk menyelesaikan contoh soal tersebut dapat dilakukan dengan rumus seperti di bawah ini:

Luas = n/2 r² sin 360º/n

          = 12/2 x 9² x sin 360º/12

          = 6 x 81 x sin 30º

          = 6 x 81 x ½ 

          = 243 cm²

Jadi luas segi 12 beraturan tersebut adalah 243 cm².

Rumus Jari-jari Lingkaran Dalam Segitiga

Perhatikan gambar OP, OQ, dan OR adalah jari-jari lingkaran dalam segitiga. Jika OP = OQ = OR = rd, BC = a, AC = b, dan AB = c, maka:

Sehingga, dapat kita simpulkan untuk sebarang segitiga dengan panjang sisi-sisinya a, b, dan c, serta s = ½ × keliling segitiga, maka jari-jari lingkaran dalam segitiga tersebut adalah:

Rumus Jari-jari Lingkaran Luar Segitiga

perhatikan gambar di bawah ini! Lingkaran yang terbentuk pada gambar adalah lingkaran luar ΔABC yang berpusat di titik O. OA dan OQ adalah jari-jari lingkaran luar. Misalkan OA = OQ = rl, BC = a, AC = b, dan AB = c.

Perhatikan ΔAQB dan ΔACP!

Besar ∠ABQ (sudut keliling yang menghadap busur AQ dan menghadap diameter lingkaran) = 90o = ∠APC (karena AP adalah garis tinggi ΔACP, maka AP⊥BC). Besar ∠AQB = ∠ACP karena sudut keliling menghadap busur yang sama). Karena terdapat 2 buah sudut yang bersesuaian sama besar, maka ΔAQB dan ΔACP sebangun (bentuknya sama, tetapi ukurannya berbeda). Sehingga dapat ditulis secara matematis dalam bentuk berikut:

Sehingga, dapat kita simpulkan untuk sebarang segitiga dengan panjang sisi-sisinya a, b, dan c, serta s = ½ × keliling segitiga, maka jari-jari lingkaran luar segitiga adalah:

Contoh Soal

Jari-jari Lingkaran Luar dan Dalam Segitiga

Panjang sisi-sisi sebuah segitiga adalah 6 cm, 8 cm, dan 10 cm. Hitunglah:

a. Keliling lingkaran dalam segitiga

b. Luas lingkaran luar segitiga

Jawaban:

Diketahui a = 6 cm, b = 8 cm, c = 10 cm

Garis Singgung Persekutuan Luar

Lingkaran

Persamaan garis singgung lingkaran persekutuan luar melibatkan dua lingkaran dan sebuah garis singgung lingkaran

Garis AB adalah garis singgung persekutuan luar dua lingkaran. Konsep untuk mengetahui panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran adalah teorema pythagoras. Langkah pertama adalah proyeksikan titik P ke garis OA. Panjang garis PP’ sama dengan garis AB, sehingga dengan menghitung panjang PP’ maka kita juga akan mendapatkan panjang AB (garis singgung persekutuan dua lingkaran).

Perhatikan bahwa segitiga PP’O merupakan segitiga siku-siku yang siku-siku di P’. Dengan teorema phytagoras dapat diperoleh panjang PP’ yaitu sebagai berikut:

Sehingga, rumus garis singgung persekutuan luar dua lingkaran dapat dinyatakan dalam rumus di bawah.

Rumus mencari panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran:

Keterangan:

        AB = PP’ = Garis singgung persekutuan luar lingkaran

        OP = Jarak antara kedua pusat lingkaran

        R = Jari-jari lingkaran besar

        r = jari-jari lingkaran kecil

Contoh Soal

Dua buah lingkaran memiliki panjang garis singgung persekutuan luar 24 cm dan jarak kedua titik pusat lingkaran 26 cm. Jika panjang jari-jari lingkaran besar 18 cm, maka panjang jari-jari lingkaran yang lain adalah ….

A.     6 cm

B.     8 cm

C.     9 cm

D.     10 cm

Jadi, panjang jari-jari lingkaran yang lain adalah 8 cm.

Jawaban: D

Garis Singgung Persekutuan Dalam

Lingkaran

garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran juga melibatkan 2 buah lingkaran dan sebuah garis singgung. Bedanya terletak pada posisi garis singgung lingkaran. 2 titik singgung lingkaran pada garis singgung persekutuan luar dua lingkaran terletak di sisi yang sama. Sedangkan dua titik singgung lingkaran pada garis singggung persekutuan dalam dua lingkaran terletak bersebrangan

Sama halnya dengan garis singgung persekutuan dalam, garis singgung persekutuan luar jika didapat dengan menerapkan konsep teorema Pythagoras.

Perhatikan bahwa segitiga PP'O merupakan segitiga siku-siku dengan siku-siku di P'. Dengan teorema Pythagoras dapat diperoleh dan panjang PP' yaitu sebagai berikut:

 

Sehingga, rumus garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran dapat dinyatakan dalam rumus di bawah.

Rumus mencari panjang garis singgung persekutuan dalam

Keterangan:

        AB = PP’ = Garis singgung persekutuan luar lingkaran

        OP = Jarak antara kedua pusat lingkaran

        R = Jari-jari lingkaran besar

        r = jari-jari lingkaran kecil

Contoh Soal

Perhatikan gambar berikut! 

Panjang jari-jari lingkaran besar dan kecil berturut-turut adalah 10 cm dan 5 cm. Jarak kedua pusat lingkaran adalah 25 cm. Panjang garis singgung AB adalah ….

A.     12 cm

B.     15 cm

C.     17 cm

D.     20 cm

Jawaban:

Jadi, panjang garis singgung AB adalah 20 cm.

Jawaban: D