Soal Komposisi Fungsi dan Invers Fungsi

Sahita Tirta Nirwana 

36

X - IPS 3

Contoh Soal Komposisi Fungsi

1. Suatu pabrik kertas dengan bahan dasar kayu (x) memproduksi kertas melalui dua tahap. Tahap pertama menggunakan mesin I menghasilkan bahan kertas setengah jadi (m) dengan mengikuti fungsi

Tahap kedua menggunakan mesin II menghasilkan kertas mengikuti fungsi

dengan x dan m dalam satuan ton. Jika bahan dasar kayu yang tersedia untuk suatu produksi sebesar 4 ton, banyak kertas yang dihasilkan adalah….

  A. 5 ton

  B. 10 ton

  C. 15 ton

  D. 20 ton

  E. 30 ton

Jawaban:

Mencari fungsi komposisi (gof) (m):

(gof) (m) = g (f (m))

= g (m² - 3m - 2)

= 4 (m² - 3m - 2) + 2

= 4m² - 12m - 8 + 2

= 4m² - 12m - 6

Mencari nilai fungsi komposisi (gof) 4:

(gof) (4) = 4.4² - 12.4 - 6

(gof) (4) = 4.16 - 12.4  - 6

(gof) (4) = 64 - 48 - 6  = 10 ton

Jadi, jawabanya adalah 10 ton (B) 

2. Diketahui fungsi f ( x ) = 2 x - 3 dan g ( x ) = x 2 + 2 x - 3. Komposisi fungsi ( g ∘ f ) ( x ) =….

A. 2 x 2 + 4 x - 9

B. 2 x 2 + 4 x - 3

C. 4 x 2 + 6 x - 18

D. 4 x 2 + 8 x

E. 4 x 2 - 8 x

Jawaban:

Komposisi fungsi ( g ∘ f ) ( x ) yaitu fungsi f ( x ) tersarang dalam fungsi g ( x ) sehingga yang menjadi patokan adalah fungsi g ( x ).

g ( x ) = x 2 + 2 x - 3

( g ∘ f ) ( x ) = f 2 ( x ) + 2 f ( x ) - 3

= (2 x - 3) 2 + 2 (2 x - 3) - 3

= 4 x 2 - 12 x + 9 + 4 x - 6 - 3

= 4 x 2 - 8 x

Jadi, komposisi fungsi tersebut adalah opsi (E).

3. Diketahui f(x) = x² – 3x + 5, g(x) = x + 2 dan (f o g)(x) = 15. Nilai x yang memenuhi adalah …

A. –4 dan –3   

B. –6 dan 2  

C. –4 dan 3

D. –3 dan 4

E. –2 dan 6

Jawaban :

(f o g)(x) = 15

f(g(x)) = 15

f(x + 2) = 15

(x + 2)² – 3(x + 2) + 5 = 15

(x² + 4x + 4) – 3x – 6 + 5 – 15 = 0

x² + x – 12 = 0

(x + 4)(x – 3) = 0

(x + 4) = 0 atau (x – 3) = 0

x = –4 atau x = 3

Jadi, jawabanya adalah  – 4 dan 3 (C) 

Contoh Soal Fungsi Invers 

1. Invers didefinisikan sebagai f (x) = (x – 3) / (2x + 5), x ≠ – 5/2 dan f-1 (x) adalah kebalikan dari fungsi f (x). Rumus f-1 (x) adalah …

A. (5x + 3) / (1 – 2x)

B. (5x – 3) / (1 – 2x)

C. (5x + 3) / (2x + 1)

D. (2x + 3) / (5x + 5)

E. (2x – 3) / (5x + 5)

Jawaban:

f (x) = (x – 3) / (2x + 5) berarti a = 1, b = -3, c = 2 dan d = 5 maka:

f – 0,1 (x) = (-dx + b) / (cx – a)

f-1 (x) = (-5x – 3) / (2x -1) atau pembilang dan penyebut – (min)

f-1 (x) = (5x + 3) / (-2x + 1)

f-1 (x) = (5x + 3) / (1 – 2x)

Jadi, jawabanya adalah (5x + 3) / ( 1 – 2x) (A) 

2. Jika f (x) = (x + 3) / (x – 2), f-1 (x) = …

A. (2x + 3) / (x – 1)

B. (x – 3) / (x + 2)

C. (2x + 3) / (x +1)

D. (-2x + 3) / (x + 1)

E. (-x + 3) / (x – 2)

Jawaban:

Langkah 1:

Biarkan f (x) = y

y = (x + 3) atau (x – 2)

y (x – 2) = x + 3

yx – 2y = x + 3

yx – x = 2thn + 3

x (y – 1) = 2y + 3

x = (2y + 3) / (y – 1) Kemudian ganti x dengan f-1 (x) dan y dengan x

f-1 (x) = (2x + 3) / (x-1)

Langkah 2:

Jika f (x) = (kapak + b) / (cx + d) 

Jadi f-1 (x) = (-dx + b) / (cx-a))

Kemudian kita bisa bertukar tempat dan mengganti karakter 1 dengan -2.

f-1 (x) = (2x + 3) / (x – 1) 

Jadi,jawabanya adalah (2x + 3) / (x – 1) (A) 

3. Jika g (x+1) = 2x - 1 dan f(g(x+1)) = 2x +4 maka f(0) = ...

Jawaban:

g(x+1) = 2x-1

f(g(x+1)) = 2x+4

maka f(2x-1) = 2x+4

misal 2x-1 = P maka x = (P+1)/2

maka f(P) = 2{(P+)/2} + 4

maka f(P) = P + 1 + 4

maka f(x) = x + 5

Jadi, jawabanya adalah f(x) = x + 5